Les écoulements à surface libre peuvent présenter des aspects très différentes dans l'environnement et l'industrie. Il peut s'agir d'une surface tranquille, régulière mathématiquement parlant, avec des vagues dont on peut vouloir extraire de l'énergie renouvelable, ou encore d'une surface, lisse également, d'une piscine s'évaporant suite à une défaillance des pompes de recirculation, ou enfin d'un écoulement dans un déversoir de barrage avec une surface libre vraiment perturbée et complexe dans sa forme et sa topologie. Les approches lagrangiennes et / ou eulériennes peuvent être utilisées pour résoudre les équations discrétisées de Navier-Stokes avec une surface libre.

Parmi les méthodes lagrangiennes, l'hydrodynamique des particules lissées (en anglais « Smoothed Particule Hydrodynamics » SPH) est une méthode numérique sans maillage idéale pour simuler des phénomènes potentiellement violents de surface libre très déformée tels qu'une vague déferlante ou un déversoir de barrage pour lequel de nombreuses méthodes eulériennes peuvent être difficiles à appliquer.

Les écoulements à surface libre réguliers peuvent également être traités avec la méthode des volumes finis sur maillage déformable avec une approche arbitrairement lagrangienne eulérienne (ALE), où les faces de surface libre du maillage se déplacent de sorte que la condition aux limites cinématique soit vérifiée.

Le premier chapitre a pour objectif de présenter les méthodes volumes finis ALE et SPH et d’en établir des liens.

Pour SPH, la gestion des conditions aux limites (murs et frontières ouvertes) est l'une des parties les plus difficiles car elle est déclarée comme l'un des grands défis de l'organisation internationale représentant la communauté des chercheurs et des utilisateurs industriels de l'hydrodynamique des particules lissées (SPHERIC). Concernant les murs, nos travaux suivent l’approche semi-analytique, introduite au chapitre 2, qui consiste à renormaliser la masse volumique près d'un mur plein par rapport à la zone de support de noyau manquante. La partie SPH de ce travail étend cette méthodologie semi-analytique, où des opérateurs de gradient et de divergence intrinsèques qui garantissent des propriétés de conservation sont employés. La précision du champ physique telle que la pression à côté des murs est considérablement améliorée, et la manière cohérente de prise en compte des parois développée pour les opérateurs nous permet d'effectuer des simulations avec des modèles de turbulence.

Une formulation axisymétrique avec un facteur de renormalisation unifié prenant à la fois la correction radiale et la renormalisation de la paroi est proposée en annexe.

Le chapitre 3 traite des frontières ouvertes pour l'approche SPH avec la résolution d'un problème de Riemann associé au cadre SPH compressible hyperbolique utilisé. La discrétisation de la frontière en éléments de surface (segments en 2-D) et en sommets est adéquate pour faire entrer les particules progressivement afin qu'aucune onde de pression ne soit créée par la libération de nouvelles particules fluides. Quelques autres aspects sur SPH dont l’intégration du facteur de renormalisation sont présentés en annexe.

Le chapitre 4 présente l'algorithme volumes finis ALE développé dans le code open-source massivement parallèle code_saturne. Un mélange original de schéma numérique basé sur les cellules utilisé pour obtenir la conservation de la masse et de la quantité de mouvement sur chaque volume de contrôle de cellule et un schéma basé sur les sommets basé sur l'approche des opérateurs discrets compatibles (CDO) est présenté avec un soin particulier sur la condition à la limite de la surface libre aussi bien du point de vue du fluide que du déplacement du maillage. Différents cas de test de vérification et de validation sont présentés. La discrétisation spatiale d'une équation de Poisson, utilisée pour l'étape de correction de masse dans l'approche des volumes finis ALE, est présentée en annexe.

Abstract:

Free-surface flows have various natures in the environmental and industrial contexts. It may be a gentle mathematically regular surface with waves from which one may want to extract renewable energy, or an also smooth surface of an evaporating pool in case of recirculating pumps deficiency, but also a flow down a spillway with a really disturbed free-surface. Lagrange and/or Euler approaches can be used to solve the discretised Navier-Stokes equations with a free-surface.

Among the Lagrangian methods, Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH) is a mesh-less numerical method ideal for simulating potentially violent free-surface phenomena such as a wave breaking, or a dam-break for which many Eulerian methods can be difficult to apply.

Gentle free-surface flows can also be tackled with the Arbitrary Lagrangian Eulerian (ALE) mesh-based Finite Volumes method, where the free-surface faces of the mesh move so that the kinematic boundary condition is fulfilled.

The first Chapter is made to introduce SPH and ALE Finite Volumes and to draw links between the two methods.

For SPH, dealing with boundary conditions (walls and open boundaries) is one of the most challenging parts as it is declared as one of the Grand Challenges of the international organisation representing the community of researchers and industrial users of Smoothed Particle Hydrodynamics (SPHERIC). Concerning walls, the proposed methodology introduced in Chapter 2 relies on the semi-analytical approach which consists in renormalising the density field near a solid wall with respect to the missing kernel support area, and intrinsic gradient and divergence operators that ensure conservation properties are employed. The accuracy of the physical field such as the pressure next to walls is considerably improved, and the consistent manner developed to wall-correct operators allows us to perform simulations with turbulence models

An axisymmetric formulation with a unified renormalisation factor taking both radial correction and wall renormalisation is proposed as an extension of this work in Appendix.

The third Chapter deals with open-boundaries for the SPH approach with the resolution of a Riemann problem associated to the hyperbolic compressible SPH framework used. The discretisation of the boundary in surface elements (segments in 2-D) and vertices is adequate to make particles enter progressively so that no pressure wave are created by the release of new fluid particles. Some details or how to integrate the geometrical renormalisation factor used in the SPH boundary conditions is presented in Appendix. The fourth Chapter presents the ALE Finite Volumes algorithm developed in the massively parallel open-source code code_saturne. An original mixing of cell-based numerical scheme used to get conservation of mass and momentum on each cell control volume and a vertex-based scheme based on the Compatible Discrete Operators (CDO) approach is presented with a particular care on the free-surface condition both on fluid and mesh-displacement. Various verification and validation test cases are presented. Space discretisation of a Poisson equation, used for the mass correction step in the ALE Finite Volumes approach, is presented in Appendix.